Calcolo Esempi

$x (y^{2} - 1) d x + y (x^{2} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (y^{2} - 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} - 1$ da $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y^{2} - 1$ da $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $y^{2} - 1$ da $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Passaggio 3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

Passaggio 3.6

$\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ e $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Passaggio 3.7.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4.2

Moltiplica $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.2.1.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.2

Moltiplica $y - 1$ per $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.3

Somma $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 y + 0$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.2.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.2.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.3.2.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.3.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Passaggio 4.3.2.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Passaggio 4.3.2.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.2.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Espandi $(y + 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

$\ln (| x^{2} - 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6

Espandi $(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - 1 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7.2

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |$

Passaggio 5.10

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$

Passaggio 5.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 = \pm e^{2 C}$

Passaggio 5.10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.10.3.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x^{2} - y^{2} + 1 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

Passaggio 5.10.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x^{2} - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.4

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x^{2} - y^{2}$ .

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Passaggio 5.10.4.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1 = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.4.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x^{2} - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.6

Scomponi.

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Passaggio 5.10.6.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Passaggio 5.10.7

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.10.7.1

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.10.7.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.7.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.7.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.10.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.8

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$ .

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Passaggio 5.10.9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.10.9.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.5.2

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.10.9.5.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Passaggio 5.10.9.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.10.9.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Passaggio 5.10.9.5.6

Riscrivi ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ come $(x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 5.10.9.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ come ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.10.9.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.10.9.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.9.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.9.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.9.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Passaggio 5.10.9.5.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.10.9.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$