Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + y^{3}}$ .

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $y$ da $y + y^{3}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

Passaggio 2.2.1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

Passaggio 2.2.1.1.1.5

Moltiplica $y$ per $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y (1 + y^{2})$ .

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (1 + y^{2})$ per $1$ .

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.6.4.2

Dividi $(B y + C) (y)$ per $1$ .

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

Passaggio 2.2.1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

Passaggio 2.2.1.1.6.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.6.1

Sposta $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

Passaggio 2.2.1.1.6.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

Passaggio 2.2.1.1.7

Sposta $A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

Passaggio 2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.2.1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 2.2.1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 2.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.2.1.3.4

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.2.1.3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 2.2.1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 2.2.1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.1

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.5.2.2

Somma $- y$ e $0$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.2.11

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$