Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{8 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{8 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $8 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 8}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 8}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{8}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{8} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{3}{8} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{24} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 (1)}{24} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 8} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 8} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{8} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{8}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{8} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{8} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (4)} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 4} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{4} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.4.2

$2 K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 2 K \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 8 K}{4}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{x^{3} + 8 K}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{3} + 8 K)$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{3} + 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{4}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{3} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{3} + 8 K)}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{3} + 8 K}$

Passaggio 3.4.7

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{3} + 8 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + 8 K}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{2}$