Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{x}{y}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{x}{y}$ per $x$ .

$x = V y$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $x = V y$ rispetto a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $y \frac{d V}{d y} + V$ a $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{V}$ nel numeratore.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Scomponi $V$ da $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Passaggio 5.1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Passaggio 5.2.2

L'integrale di $\frac{1}{V}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Passaggio 5.2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 5.2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Passaggio 5.3.3

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $\ln (y^{2} | V |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Passaggio 5.3.5

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Passaggio 5.3.5.2

Dividi per $y^{2}$ ciascun termine in $y^{2} | V | = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Dividi per $y^{2}$ ciascun termine in $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.2

Dividi $| V |$ per $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Passaggio 5.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{x}{y}$ a $V$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

$C$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{C}{y}$