Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $s$ con $3$ in $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ .

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\sin (0) + \cos (0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + \cos (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$1 + K = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 - 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$K = 2$

Passaggio 5

Sostituisci $2$ a $K$ in $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $2$ a $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$