Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ per $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{y x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{\ln (x) (y^{2} + 1)}{x}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y^{2} + 1$ da $\ln (x) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) \ln (x)}{x}$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y^{2} + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = \ln (x)$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 |)} = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| y^{2} + 1 |) = \ln^{2} (x) + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\ln^{2} (x) + 2 C} = | y^{2} + 1 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1$

Passaggio 3.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + 2 C} - 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x) + C} - 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{\ln^{2} (x) + C}$ come $e^{\ln^{2} (x)} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{\ln^{2} (x)} e^{C} - 1}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{\ln^{2} (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{\ln^{2} (x)} - 1}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C e^{\ln^{2} (x)} - 1}$