Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $\frac{2 x}{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Somma $\frac{1}{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $\frac{2 x}{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{x}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{x}{y}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.2

Riordina i fattori di $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Passaggio 1.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$