Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Passaggio 1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Passaggio 7.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 7.10

Riscrivi $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 7.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 7.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 7.12.1.3

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.12.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 x}}{4}$ nel numeratore.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 7.12.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Passaggio 7.12.4.3

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 7.12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.6

Per scrivere $x e^{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.7

$x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.9.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.9.2.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 7.12.9.2.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Passaggio 7.12.9.2.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.4

Riscrivi $- 1 e^{2 x}$ come $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.7

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.8

Combina $e^{2 x} x$ e $- \frac{e^{2 x}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.8.1

Riordina $e^{2 x}$ e $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.8.2

Per scrivere $x e^{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.8.3

$x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.9.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.9.2.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.9.2.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.2.9.2.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.3

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.5.4

Riscrivi $- 1 e^{2 x}$ come $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.6

Riordina i fattori in $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ per $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$