Calcolo Esempi

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 + x$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| 1 + x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| 1 + x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica ogni lato per ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${(1 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Passaggio 5.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Riscrivi ${(1 + x)}^{2}$ come $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Passaggio 5.5.4.1.2

Espandi $(1 + x) (1 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Passaggio 5.5.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Passaggio 5.5.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Passaggio 5.5.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Passaggio 5.5.4.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Passaggio 5.5.4.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Passaggio 5.5.4.1.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Passaggio 5.5.4.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Passaggio 5.5.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Passaggio 5.5.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.5.1

Moltiplica $e^{C}$ per $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Passaggio 5.5.4.1.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Passaggio 5.5.4.1.6

Riordina i fattori in $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Passaggio 5.5.4.1.7

Sposta $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Passaggio 5.5.4.1.8

Riordina $2 x e^{C}$ e $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Passaggio 5.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$