Calcolo Esempi

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Passaggio 1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Moltiplica $2 x - y$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Passaggio 1.3.8.2

Sottrai $y$ da $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.5

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x - 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x - 2 y = - 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x - 2 y = - 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x - 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y (2 x - y)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y (2 x - y)$ a $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2$ da $- 4 x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $- 2 x + y$ e $2 x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3.4

Riscrivi $- (2 x - y)$ come $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Passaggio 4.3.3.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci $y (2 x - y)$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y (2 x - y)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 x - y$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- x^{2} - y^{2} - 1$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.11

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.12

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.13

Riscrivi $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ come $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Passaggio 8.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 8.4

Poiché $\frac{2}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 8.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Passaggio 8.6

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Passaggio 8.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Passaggio 8.8

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Passaggio 8.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Passaggio 8.9.2

Moltiplica $2$ per $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Passaggio 8.9.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Passaggio 8.9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{y}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.6.2.2

Somma $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Somma $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Somma $0$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Per scrivere $\frac{d g}{d y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Passaggio 12.1.3

Risolvi l'equazione per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Passaggio 12.1.3.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Passaggio 12.1.3.2

Dividi per $y^{2}$ ciascun termine in $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1

Dividi per $y^{2}$ ciascun termine in $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.3.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Passaggio 12.1.3.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 13.4

Applica la regola costante.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 13.6

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Passaggio 13.7

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 13.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Passaggio 13.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Passaggio 13.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Passaggio 13.10

Semplifica.

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Passaggio 13.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Passaggio 13.10.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$