Calcolo Esempi

$x \sqrt{y^{2} - 2} d x + y \sqrt{x^{2} - 2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x \sqrt{y^{2} - 2} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \sqrt{x^{2} - 2} d y = - x \sqrt{y^{2} - 2} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.2

Eleva $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.3

Eleva $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ come $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ come ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.2.6.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2}) d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (y \sqrt{x^{2} - 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$y$ e $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.2

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ e $\sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{x^{2} - 2}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{y \sqrt{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.4

Eleva $x^{2} - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.5

Eleva $x^{2} - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1} {(x^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(x^{2} - 2)}^{2} (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{y ((x^{2} - 2) \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $\sqrt{y^{2} - 2}$ da $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $\sqrt{y^{2} - 2}$ da $x^{2} \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} - 2 \sqrt{y^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $\sqrt{y^{2} - 2}$ da $- 2 \sqrt{y^{2} - 2}$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $\sqrt{y^{2} - 2}$ da $\sqrt{y^{2} - 2} x^{2} + \sqrt{y^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y (\sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2} (x^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (- x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}) (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ per $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.2

Eleva $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.3

Eleva $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1} {\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6

Riscrivi ${\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}^{2}$ come $(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ come ${((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{({((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{{((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}^{1}} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.8.6.5

Semplifica.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2}) d x$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- \frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} (x \sqrt{y^{2} - 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$x$ e $\frac{\sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} \sqrt{y^{2} - 2} d x$

Passaggio 3.9.2

$\sqrt{y^{2} - 2}$ e $\frac{x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{\sqrt{y^{2} - 2} (x \sqrt{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.9.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{(y^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (y^{2} - 2))}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.9.4

Eleva $y^{2} - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} (y^{2} - 2) (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.9.5

Eleva $y^{2} - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1} {(y^{2} - 2)}^{1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.9.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.9.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{{(y^{2} - 2)}^{2} (x^{2} - 2)}}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x ((y^{2} - 2) \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.10.3

Scomponi $\sqrt{x^{2} - 2}$ da $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Scomponi $\sqrt{x^{2} - 2}$ da $y^{2} \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} - 2})}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.10.3.2

Scomponi $\sqrt{x^{2} - 2}$ da $- 2 \sqrt{x^{2} - 2}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.10.3.3

Scomponi $\sqrt{x^{2} - 2}$ da $\sqrt{x^{2} - 2} y^{2} + \sqrt{x^{2} - 2} \cdot - 2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x (\sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2))}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2} (y^{2} - 2)}{(x^{2} - 2) (y^{2} - 2)} d x$

Passaggio 3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y \sqrt{y^{2} - 2}}{y^{2} - 2} d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = y^{2} - 2$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = y^{2} - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2.2

Moltiplica $u_{1}$ per ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1

Moltiplica $u_{1}$ per ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1.1

Eleva $u_{1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.4.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.6.2.3

Moltiplica ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} - 2}}{x^{2} - 2} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = x^{2} - 2$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = x^{2} - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.3.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 2$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

${(y^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} = - {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + K$