Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$