Calcolo Esempi

$(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x - 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

Passaggio 1.4

Sottrai $4 y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 4 y = - 2 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 4 y = - 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 2 x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2 x y$ a $N$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 4 y - (- 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $- 4 y$ .

$\frac{y \cdot - 4 - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot - 4 + y (- (- 2))}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 4 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (- 4 - (- 2))}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{y (- 4 + 2)}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $- 4$ e $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x - 2 y^{2}$ per $x$ .

$(3 x - 2 y^{2}) x d x - 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x \cdot x - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta $x$ .

$(3 (x \cdot x) - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 2 x y$ per $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y x d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sposta $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 (x \cdot x) y d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x^{2} y d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x^{2} y d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = - 2 x^{2} y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $- 2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2 x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - 2 x^{2} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $- 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $- 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$x^{2}$ e $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{- x^{2}}{1} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2.4

Dividi $- x^{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} x = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $2 y^{2} x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Somma $- 2 y^{2} x$ e $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $3 x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Passaggio 13.5.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + x^{3} + C$