Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di $- \csc (x)$ è $\csc (x) \cot (x)$ , l'integrale di $\csc (x) \cot (x)$ è $- \csc (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$