Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3

Risolvi l'equazione per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $y^{2} - 2$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Passaggio 1.1.3.2

Dividi per $x^{2} \cdot 2 y$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Dividi per $x^{2} \cdot 2 y$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Passaggio 1.1.3.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{y}{2 x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{x^{2} y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 y x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{y}{2 x^{2}}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} y}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i fattori di $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2 y$ da $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = y^{2} - 2$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = y^{2} - 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 2.2.2.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Passaggio 3.3.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{1}{x} + C}$ come $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$