Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

Passaggio 1.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x$ da $x (y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x}{x^{2} + 1}$ per $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y$ da $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi $y$ per $y + 1$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.5

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$