Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi la frazione $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Passaggio 1.2

Presupponi che $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Combina $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e $\sqrt{x^{2}}$ in un singolo radicale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Dividi $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Dividi la frazione $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $0$ e $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $V = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d V = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

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Passaggio 6.2.2.2.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (V)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ per $y$ .

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Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 8.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{y}{x})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{y}{x})$ . Perciò, $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ è $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{2} + y^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.2

Scomponi la potenza perfetta $x^{2}$ su $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.7

$\frac{1}{x}$ e $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.8

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

Passaggio 8.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$