Calcolo Esempi

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{t}{5}$ e $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica $5 (y - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $5$ da $5 y - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $5$ da $5 y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $5$ da $- 15$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $5$ da $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y - 3$ da $5 (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 5 \ln (| t |)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${| t |}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

Passaggio 3.5.4.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C {| t |}^{5} + 3$