Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $12 y^{2} + 2$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $2$ da $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $12 y^{2} + 2$ per $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $12 y^{2} + 2$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $2$ da $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.3.3

Scomponi $2$ da $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.3.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $6 y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $y$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$