Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x^{5} - 5$ . Allora $d u = 5 x^{4} d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x^{5} - 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 2.3.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $5$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Passaggio 4.2.4

$\frac{1}{15}$ e $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{64}{15}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Passaggio 4.3.3

$5$ e $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $5$ per $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $75$ e $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{139}{15}$ a $K$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{139}{15}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $25$ per $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.2.6

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

$\frac{1}{15}$ e $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $15$ da $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $15$ da $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Scomponi $5$ da $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.4.5

$\frac{1}{3}$ e $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $- \frac{25}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{25}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 25$ per $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Passaggio 5.6.2

Somma $- 125$ e $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$