Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $5$ e $y$ con $0$ in $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Passaggio 5.2

Per risolvere per $K$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Passaggio 5.4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi l'equazione come $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $20$ da $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Passaggio 5.4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$5 + K = 1$

Passaggio 5.4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.4.4.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - 5$

Passaggio 5.4.4.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$K = - 4$

Passaggio 6

Sostituisci $- 4$ a $K$ in $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Sostituisci $- 4$ a $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$