Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(2 y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi ${(2 y - 1)}^{2}$ da $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 y - 1$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 3$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $2 y - 1$ è $2 y - 1$ stesso.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $2 y - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 y - 1$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$6 (2 y - 1)$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $6 (2 y - 1)$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ per $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 (2 y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $2 (2 y - 1)$ da $6 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Passaggio 3.3.3.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Passaggio 3.3.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Passaggio 3.3.3.1.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Passaggio 3.3.3.1.10

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Passaggio 3.3.3.1.11

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ .

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $2 x^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $6 K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $4 y$ da $4 x^{3} y + 12 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $4 y$ da $4 x^{3} y$ .

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $4 y$ da $12 K y$ .

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $4 y$ da $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ .

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $4 (x^{3} + 3 K)$ ciascun termine in $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $4 (x^{3} + 3 K)$ ciascun termine in $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{3} + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 K$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$