Calcolo Esempi

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 2 \cdot \frac{1}{t}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 2 \cdot \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

$2$ e $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| t |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| t |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

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Passaggio 3.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

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Passaggio 3.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Passaggio 3.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Passaggio 3.5.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm t^{2} C$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C t^{2}$