Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 4 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $4 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 x^{4} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x^{4}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6.2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6.4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 6.4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 6.5

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 6.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.8

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 6.9

Semplifica.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 6.10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Passaggio 6.10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x^{4}}$ ciascun termine in $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x^{4}}$ ciascun termine in $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{{(x^{2})}^{2}}$ e $e^{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $e^{x^{4}}$ da $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $x^{4}$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 7.3.1.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$