Calcolo Esempi

$(1 - x) d y + y d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 - x) d y = - y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 - x$ da $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 - x) y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica ogni lato per $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| 1 - x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Passaggio 5.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | 1 - x |$ .

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Passaggio 5.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm | 1 - x | C$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | 1 - x |$