Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x y' = x^{2} + y$

Passaggio 2

Trova $y'$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Passaggio 2.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x + 4$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 x + 4$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Passaggio 4.5

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Passaggio 5

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = x^{2} + 4 x$ è una soluzione a $x y' = x^{2} + y$