Calcolo Esempi

$(x + y) d x = x d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $x d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x + y) d x - x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x + y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = - 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = - 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- x$ a $N$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- x$ a $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Passaggio 5.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x + y) d x - x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x + y$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x + y$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- x$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.4.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 7.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Passaggio 9.2

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{y}{x} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y}{x}$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.2

$y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1.1

Sottrai $\frac{x + y}{x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x + y)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x - y}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Combina i termini opposti in $y - x - y$ .

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Passaggio 13.1.1.4.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 13.1.1.5.1.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1.1.5.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 14.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln (| x |) + C$