Calcolo Esempi

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x - 34$ ciascun termine in $(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ .

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x - 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di ${(x - 34)}^{3}$ e $x - 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x - 34$ da ${(x - 34)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi ${(x - 34)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{x - 34}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = x - 34$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = x - 34$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $x - 34$ .

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 34$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $- 34$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 34$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 34$ .

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x - 34)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x - 34)}^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 34}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x - 34}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x - 34}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{x - 34}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{x - 34}$ per $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $x - 34$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $x - 34$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x - 34)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ per $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Eleva $x - 34$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $x - 34$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $- 34$ alla sinistra di $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $x - 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $x - 34$ da ${(x - 34)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Passaggio 3.8

Riordina i fattori in $\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

Passaggio 7.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x - 34}$ e $y$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x - 34$ .

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Espandi $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.3

Sposta $- 17$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 34$ per $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.6

Sposta $- 34$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

Sottrai $34 x^{2}$ da $- 17 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2.1

Sposta $1156 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2.2

Sposta $- 51 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$