Calcolo Esempi

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = (2 - x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int 2 - x d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$