Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{4 x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 3$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 3 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{- 3 x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $e^{4 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 4 x}$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 3 x$ e $4 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- 3 x} y = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} y = e^{x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{4 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Dividi $e^{4 x}$ per $1$ .

$y = e^{4 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$