Calcolo Esempi

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- \frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{e^{x}}{y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.4.3

$e^{x}$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $y - \frac{e^{x}}{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y - \frac{e^{x}}{y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $y - \frac{e^{x}}{y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $e^{x} + y^{2}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $e^{x} + y^{2}$ a $M$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Combina.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{x}}{y}$ nel numeratore.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Sposta $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.5.5

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Scomponi $y$ da $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Scomponi $y$ da $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Passaggio 4.3.6.2

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Passaggio 4.3.6.3

Scomponi $y$ da $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $- y^{2} - e^{x}$ e $e^{x} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.7.4

Riscrivi $- (y^{2} + e^{x})$ come $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Passaggio 4.3.7.5

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Passaggio 4.3.7.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Passaggio 4.3.7.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y}$

Passaggio 4.3.8

Sostituisci $e^{x} + y^{2}$ a $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $e^{x} + y^{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $e^{x} + y^{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per scrivere $x y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Sposta $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.4

Per scrivere $- 2 y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.5

$- 2 y^{2}$ e $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.7

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.1

Sposta $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.7.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.5.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Passaggio 6.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Passaggio 6.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Passaggio 8.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Passaggio 8.3.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Passaggio 8.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Passaggio 8.3.2.5

Dividi $y$ per $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Passaggio 8.4

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Passaggio 8.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Passaggio 8.6

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{e^{x}}{y}$ rispetto a $y$ è $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.6.2

$e^{x}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.2.1

Moltiplica $- - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2.2

Dividi $- x + 2 y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Passaggio 12.1.1.6

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.6.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Passaggio 12.1.1.6.2

Somma $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 2 y$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 13.5.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 13.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$