Calcolo Esempi

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

Passaggio 1

Somma $x y^{2} d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{x + 1}$ e $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $(y + 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

L'integrale di $y^{- 1}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.7

Semplifica.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.8

Riordina i termini.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $x$ per $x + 1$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 4.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 4.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 4.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.3.5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$