Calcolo Esempi

$(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Passaggio 2.2

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 3 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = 3 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $3 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 x y$ a $N$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 y - 1 \cdot 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{y (2 - 3)}{3 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3 x}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3 x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- \frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Riordina $\ln (| x |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| x |))} + C$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Passaggio 5.5.4.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Passaggio 5.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3 x y$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

$3$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

$x$ e $\frac{3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.4.3

$y$ e $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x \cdot 3) x^{- \frac{1}{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x^{1} \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + 1} \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.6.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Passaggio 6.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 y x^{\frac{2}{3}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y x^{\frac{2}{3}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = 3 y x^{\frac{2}{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $3 x^{\frac{2}{3}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 x^{\frac{2}{3}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Moltiplica $3$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.5

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.2

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $\frac{3 y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.10

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $\frac{3 y^{2}}{2}$ per $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 y^{2} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.13

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.15

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.3.16

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.1.3

Combina i termini opposti in $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1.3.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.1.3.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.2.1

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{3}} x^{2}) = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.2.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2.6.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $x^{\frac{5}{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x^{\frac{5}{3}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Passaggio 13.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{5}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Passaggio 15.1.3

$\frac{3}{8}$ e $x^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$