Calcolo Esempi

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y e^{2 x} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{2 x} + 5$ da $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

Passaggio 3.4

$\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Allora $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $e^{2 x} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 4.3.2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{2 x} + 5$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$