Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.13

$\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.14

Sposta $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.15

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Passaggio 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Passaggio 4.17

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Passaggio 4.18

Moltiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Passaggio 4.19

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.23

Somma $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Passaggio 6.1.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Passaggio 6.1.1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d v}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Somma $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Somma $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.3.2.2

Dividi $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Passaggio 6.1.1.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.1.1.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ come $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.1.1.4

Moltiplica ogni lato per $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $v^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Scomponi $v^{\frac{1}{2}}$ da $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Scomponi $v^{\frac{3}{2}}$ da $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.5.2.1.2.1

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Passaggio 6.1.1.5.2.1.2.2

Semplifica.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 v - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Passaggio 6.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Passaggio 6.1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ per $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3

Elimina il fattore comune di $- 2 v - 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Passaggio 6.1.3.4

Elimina il fattore comune di $- v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Passaggio 6.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $u_{2} = - 2 v - 2$ . Allora $d u_{2} = - 2 d v$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sia $u_{2} = - 2 v - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Differenzia $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 v - 2$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 2 v$ rispetto a $v$ è $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.4.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Passaggio 6.2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 6.2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 6.2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1.1

$\ln (| - 2 v - 2 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Moltiplica.

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Passaggio 6.3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| - 2 v - 2 |)$ per $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Passaggio 6.3.3

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Passaggio 6.3.5

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 6.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Passaggio 6.3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Passaggio 6.3.5.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Passaggio 6.3.5.4

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.5.4.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Passaggio 6.3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 6.3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Passaggio 6.3.5.4.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Passaggio 6.3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Passaggio 6.3.5.4.3.1.2

Dividi $2$ per $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Passaggio 6.3.5.4.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.3.5.4.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.3.5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.3.5.4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $e^{- 2 x + C}$ come $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Passaggio 6.4.3

Riordina $e^{- 2 x}$ e $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Passaggio 6.4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 2}$ a $v$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$