Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.2

Per scrivere $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

$\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Moltiplica $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1.1

Riordina $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4.1.2

Semplifica $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

Passaggio 3.1.3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Dividi la frazione $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ in due frazioni.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$