Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2 + y$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $2 + y$ da $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 2 + y$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 2 + y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 3 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 3 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ come $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

$3$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.2.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.4.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.2.1

Dividi la frazione $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ in due frazioni.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Passaggio 3.3.4.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Passaggio 3.3.4.2.2.1.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Passaggio 3.3.4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$