Calcolo Esempi

$(2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3) d x + (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + 0$

Passaggio 1.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $0$ e $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $2 x y + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x y + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y + 2 x d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int 2 x d y$

Passaggio 5.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int 2 x d y$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + C$

Passaggio 5.7

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.3

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.5

$2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.6

$\frac{2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.3.7.2

Dividi $y^{2} x$ per $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y^{2} x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 8.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x y^{2}$ e $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + y^{2} x + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $y^{2} x$ da $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 + 0 - 2 y$

Passaggio 9.1.3.3

Somma $2 x^{3} + 2 y + 3$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 - 2 y$

Passaggio 9.1.3.4

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Passaggio 9.1.3.5

Somma $2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $2 x^{3} + 3$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Passaggio 10.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Passaggio 10.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Passaggio 10.6

Applica la regola costante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Passaggio 10.7

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Passaggio 10.8

Semplifica.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Passaggio 10.9

Riordina i termini.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Passaggio 12.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Passaggio 12.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$