Calcolo Esempi

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $F$ con $- 6$ in $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ .

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{5}{2}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5 + K = - 6$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5 + K = - 6$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 6 + 5$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 6$ e $5$ .

$K = - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $- 1$ a $K$ in $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 1$ a $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$x^{2}$ e $\frac{5}{2}$ .

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

Passaggio 5.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$