Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x y^{2}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- 1}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $v$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{v'}{v^{2}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- v^{2}$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ per $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Scomponi $v^{2}$ da $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- 1}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.4.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.4.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Semplifica $- \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

$v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Moltiplica $- \frac{v}{x} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.2.1.7.2

Moltiplica $\frac{v}{x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $v^{- 2}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Sposta $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

Passaggio 7.1.1.3.3.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{0}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Semplifica $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - x$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - x$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- x)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Passaggio 7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- x)$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x \cdot x$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

Sposta $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - (x \cdot x)$

Passaggio 7.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - x^{2}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x v] = - x^{2}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - x^{2} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$x v = \int - x^{2} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x v = - \int x^{2} d x$

Passaggio 7.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 7.7.3

Riscrivi $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 7.8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.1.2.5

Dividi $- \frac{1}{3} x^{2}$ per $1$ .

$v = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.8.3.1.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$v = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- 1}$ a $v$ .

$y^{- 1} = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$