Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \arctan (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \arctan (x)$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \arctan (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \arctan (x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \arctan (x)$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \arctan (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \arctan (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \arctan (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x \arctan (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (x)$ e $d v = x$ .

$x y = \arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x y = \arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.2.2

$\arctan (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7.4

$x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.5

Dividi $x^{2}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 7.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 7.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 7.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Passaggio 7.5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7.7

Applica la regola costante.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 7.9.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 7.10

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Passaggio 7.11

Semplifica.

$x y = \frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Passaggio 7.12

Riordina i termini.

$x y = \frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

Passaggio 8.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x y = \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \arctan (x) + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x^{2})$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)}{1} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2.5

Dividi $\frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x)$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\arctan (x) x) + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (\arctan (x) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

$\arctan (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\arctan (x)}{2} x + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

$\frac{\arctan (x)}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- \frac{x}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{x \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2} \cdot \arctan (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.6

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (x)$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\frac{\arctan (x)}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.1.8

Moltiplica $\frac{\arctan (x)}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.3.2

Riordina i fattori in $\frac{\arctan (x) x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$ .

$y = \frac{x \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\arctan (x)}{2 x} + \frac{C}{x}$