Calcolo Esempi

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 x + 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ come $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

Passaggio 3.1.3.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Scomponi $- 1$ da $3 K x$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (- 3 K x)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5.4

Scomponi $- 1$ da $2 K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Passaggio 3.1.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.3.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ come ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $4 - 3 K x - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4 (3 x + 2)$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

Passaggio 3.3.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Passaggio 3.3.1.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Passaggio 3.3.1.6

Aggiungi le parentesi.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Passaggio 3.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Passaggio 3.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Passaggio 3.3.4

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$