Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $8$ per $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 1 - 3$ e $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Passaggio 4.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $4$ a $C$ in $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4$ a $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $8 \ln (| x |)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{8}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$