Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; ,

$y (1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché

$6$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$6$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$x^{- 3}$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$x^{- 2}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta

$x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché

$8$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di

$x^{- 1}$ rispetto a

$x$ è

$\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di

$C$ sostituendo

$x$ con

$1$ e

$y$ con

$0$ in

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per

$C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi

$3$ per

$1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Il logaritmo naturale di

$1$ è

$0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica

$8$ per

$0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma

$- 1 - 3$ e

$0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai

$3$ da

$- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Passaggio 4.3

Somma

$4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 4$

Passaggio 5

Sostituisci

$4$ a

$C$ in

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

$4$ a

$C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica

$8 \ln (| x |)$ spostando

$8$ all'interno del logaritmo.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in

${| x |}^{8}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$