Calcolo Esempi

$x y d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.5

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 4 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = - 4 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x = - 4 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 4 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 x - x}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x y$ a $M$ .

$\frac{- 4 x - x}{x y}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{- 5 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 x}{x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $x y$ a $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 5 \ln (| y |)$ spostando $- 5$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $x y d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y$ per $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x y \frac{1}{y^{5}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{5}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $y$ da $y^{5}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{1}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

$x$ e $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ per $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{y^{4}} d x + (- 2 x^{2} - 2 (2 y^{2})) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + (- 2 x^{2} - 4 y^{2}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- 2 x^{2} - 4 y^{2}$ per $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{- 2 x^{2} - 4 y^{2}}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} - 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2}) - 4 y^{2}}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.8.2

Scomponi $2$ da $- 4 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.8.3

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2} - 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - (2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2} + 2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.12

Riscrivi $- (x^{2} + 2 y^{2})$ come $- 1 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- 1 (x^{2} + 2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 6.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x}{y^{4}} d x - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{4}} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{x}{y^{4}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{y^{4}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y^{4}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \int x d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{4}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4} \cdot 2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{4}} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{4}} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

$\frac{1}{2 y^{4}}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2 y^{4}}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{4}}$ come ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $y^{- 8}$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Sposta $y^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.8

$- 4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2} y^{- 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.9

$\frac{- 4 x^{2}}{2}$ e $y^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{2} y^{- 5}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.10

Sposta $y^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.11

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.11.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2 y^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (y^{5})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{5}} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Somma $\frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 (2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Somma $0$ e $4 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.6.1

Scomponi $y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.6.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{5}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{2} y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{2} y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4}{y^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $\frac{4}{y^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{4}{y^{3}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- \frac{4}{y^{3}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \frac{4}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{4}{y^{3}} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{4}{y^{3}} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \frac{4}{y^{3}} d y$

Passaggio 13.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (4 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Passaggio 13.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$g (y) = - 4 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Passaggio 13.6

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (y) = - 4 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Passaggio 13.7

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 4 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Passaggio 13.7.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$g (y) = - 4 \int y^{- 3} d y$

Passaggio 13.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.1

$y^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 13.9.1.2

Sposta $y^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Passaggio 13.9.2

Semplifica.

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}) + C$

Passaggio 13.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$g (y) = 4 \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 13.9.3.2

$4$ e $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$g (y) = \frac{4}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 13.9.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.3.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 13.9.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (y^{2})} + C$

Passaggio 13.9.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 13.9.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \frac{2}{y^{2}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + \frac{2}{y^{2}} + C$