Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = x^{2} - 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{4}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{4}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{4})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{4}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{4}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{4}{x}$ e $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4 + 2} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2

Somma $4$ e $2$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} + x^{4} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - 1 \cdot x^{4}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- 1 x^{4}$ come $- x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - x^{4}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = x^{6} - x^{4}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int x^{6} - x^{4} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x^{4} y = \int x^{6} - x^{4} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{4} y = \int x^{6} d x + \int - x^{4} d x$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C + \int - x^{4} d x$

Passaggio 6.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{4} d x$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 7

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $x^{4}$ da $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{7} x^{3}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{7} x^{3} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.2

$\frac{1}{7}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 7.3.1.3.1

Scomponi $x^{4}$ da $- \frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.4

Dividi $- \frac{1}{5} x$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{1}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Passaggio 7.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$