Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 x^{2} - 1$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $5$ e $y$ con $4$ in $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$7^{1} + K = 4$

Passaggio 4.2.6

Calcola l'esponente.

$7 + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - 7$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$K = - 3$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3$ a $K$ in $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$