Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4

Espandi $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $2$ e $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $\frac{8}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{8}{3}$ a $K$ in $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{8}{3}$ a $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$