Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $6$ da $18 - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $6$ da $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $6$ da $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $3 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $3 - y$ da $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 3 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 3 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 6 \ln (| x |)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Passaggio 3.3

Somma $\ln (x^{6})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $\ln (| 3 - y |)$ per $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Passaggio 3.4.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ come $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Passaggio 3.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Passaggio 3.6

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Passaggio 3.7

Riordina i fattori in $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Passaggio 3.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Passaggio 3.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Riscrivi l'equazione come $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Passaggio 3.10.2

Dividi per $x^{6}$ ciascun termine in $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Dividi per $x^{6}$ ciascun termine in $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2.1.2

Dividi $| 3 - y |$ per $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Passaggio 3.10.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.10.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.10.5.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.10.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.10.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ come $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 3.10.5.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$