Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u_{1} = 4 x$ . Allora $d u_{1} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{1} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{4}$ e $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Calcola $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

$\frac{1}{4}$ e $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Dividi $0.0174524$ per $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $0.0043631$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 0.0043631$

Passaggio 5

Sostituisci $- 0.0043631$ a $K$ in $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 0.0043631$ a $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{4}$ e $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$