Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Passaggio 1.2.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Riordina i fattori in $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Passaggio 6.1.2.2

Scomponi $V$ da $V \ln (V) - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $V$ da $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Scomponi $V$ da $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Scomponi $V$ da $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $V (\ln (V) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sia $u_{1} = \ln (V)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , quindi $V d u_{1} = d V$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sia $u_{1} = \ln (V)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Differenzia $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

La derivata di $\ln (V)$ rispetto a $V$ è $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Passaggio 6.3.5

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 6.3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.4

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.5.4.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Passaggio 6.3.5.4.4

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.5.4.5

Riscrivi $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Passaggio 6.3.5.4.6

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.4.6.1

Riscrivi l'equazione come $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Passaggio 6.3.5.4.6.2

Riordina i fattori in $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Passaggio 6.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = e^{C | x | + 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$